Question

如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF；

（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE，AF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）CE=2，AF=

【解析】

（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2 ．然后由tan∠ABF=，求得答案．

（1）证明：如图，连接BD．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠ABD=90°．

∵AF是⊙O的切线，

∴∠FAB=90°，

即∠DAB+∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ABD．

∵BA=BC，∠ADB=90°，

∴∠ABC=2∠ABD．

∴∠ABC=2∠CAF．

（2）【解析】
如图，连接AE．

∴∠AEB=90°．

设CE=x，

∵CE：EB=1：4，

∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．

在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2 ．

即（2）2=x2+（3x）2 ．

∴x=2．

∴CE=2，

∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．

∵tan∠ABF=．

∴．

∴AF=．