Question

如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x²+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．

①求点M、N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）①点N坐标为（，3）；②不存在．理由见解析；（2）存在．满足条件的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．

【解析】

（1）①将抛物线配成顶点式可得到顶点坐标M再通过在对称轴上求出N的坐标;

②易得，通过将点P，点D的坐标设出来可得，由PD∥MN，可知PD=MN时，四边形MNPD是平行四边形；求值后通过比较与的大小可判断四边形MNPD是否为菱形;

（2）先由点P的坐标求出，然后将抛物线解析式设为y=ax2+bx+4，再由得到，求出由∠DPB=∠OBA，可对相似三角形进行分类讨论，分别求出值即可.

（1）①如图1，

∴顶点为M的坐标为

当时，，则点N坐标为

②不存在．

理由如下：

设P点坐标为，则

∴

∵PD∥MN，

当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即解得（舍去）， 此时P点坐标为

∵

∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不为菱形，

∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；

（2）存在．

如图2，

OB＝4，OA＝2，则

当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，则P（1，2），

∴

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，

把A（2，0）代入得4a+2b+4＝0，解得b＝﹣2a﹣2，

∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，

当x＝1时，y＝ax2﹣2（a+1）x+4＝a﹣2a﹣2+4＝2﹣a，则D（1，2﹣a），

∴

∵DC∥OB，

∴∠DPB＝∠OBA，

∴当时，△PDB∽△BOA，即，解得，此时抛物线解析式为

当时，△PDB∽△BAO，即，解得，此时抛物线解析式为

综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或