Question

如图，平面直角坐标系中，抛物线y=x²﹣2x与x轴交于O、B两点，顶点为P，连接OP、BP，直线y=x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D．

（1）写出点B坐标；判断△OBP的形状；

（2）将抛物线沿对称轴平移m个单位长度，平移的过程中交y轴于点A，分别连接CP、DP；

（i）若抛物线向下平移m个单位长度，当S_△PCD= S_△POC时，求平移后的抛物线的顶点坐标；

（ii）在平移过程中，试探究S_△PCD和S_△POD之间的数量关系，直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围．

Answer

（1）（2，0）；等腰直角三角形；（2）（i）或;（ii）当m≥2时，S△POD﹣S△PCD=6；当﹣1≤m＜2时，S△POD+S△PCD=6；当m＜﹣1时，S△POD﹣S△PCD=6.

【解析】

（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得B点坐标，根据配方法，可得顶点坐标，根据勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得C，D，M点坐标，根据平移规律，可得P点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PM的长，（i）根据面积的关系，可得关于m的方程，根据解方程，可得到顶点坐标；（ii）根据三角形的面积，可得答案．

（1）当y=0时，x2﹣2x=0，解得x=0（舍）或x=2，即B点坐标为（2，0），

∵抛物线y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

∴P点坐标为（1，﹣1），由勾股定理，得

OP2=（2﹣1）2+12=2，

∴OP2+BP2=OB2 ， OP=BP，

∴△OBP是等腰直角三角形，

（2）【解析】
∵直线y=x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，

∴C（0，﹣4），D（4，0），当x=1时，y=﹣3，即M（1，﹣3），

抛物线向下平移m个单位长度，解析式为y=（x﹣1）2﹣（1+m），P（1，﹣1﹣m），

∴

S△PCD=S△PMC+S△PMD= •PM•|xP﹣xC|= •|m﹣2|×4=2|m﹣2|，

（i）S△POC= •AC•|xP|= ×4×1=2，

∵S△PCD= S△POC，

∴S△PCD=2|m﹣2|=2 ，

解得m=2+ 或m=2﹣ ，

∴或;

（ii）

①当m≥2时，S△PCD=2|m﹣2|=2m﹣4，S△POD=2|m+1|=2m+2，

∴S△POD﹣S△PCD=6

②当﹣1≤m＜2时，S△PCD=2|m﹣2=4﹣2m，S△POD=2|m+1|=2m+2，

∴S△POD+S△PCD=6

③当m＜﹣1时，S△PCD=2|m﹣2|=4﹣2m，S△POD=2|m+1|=2﹣2m，

∴S△POD﹣S△PCD=6，

综上所述：当m≥2时，S△POD﹣S△PCD=6；当﹣1≤m＜2时，S△POD+S△PCD=6；当m＜﹣1时，S△POD﹣S△PCD=6.