Question

如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．

（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．

Answer

（1）△ABC为等腰三角形．理由见解析；（2）

【解析】

试题根据AB是直径，则我们很容易知道，同时也是．进而就有

，而又，则DE=BE，进而，所以，而ABED可以看成是个圆内接四边形，则，所以，即⊿ABC为等腰三角形．

第（2）问要求的是的正弦值，由图知，在中，AB=10，要求正弦值，就必须求得AD的值，在中，我们可以利用等腰三角形一腰上的高求出AD=2．8，这样我们就能求出．

试题解析：（1）∵AB为直径，

∴∠ADC=∠BDE=90°，∠C+∠DBC=90°，∠CDE+∠EDB=90°，

又∵，

∴∠EDB=∠DBC，

∴∠C=∠CDE，

∴CE=DE，

∵，

∴DE=BE，CE=BE，

∴AE垂直平分BC，

∴AC=BC，

∴△ABC为等腰三角形．

∵A，B，E，D四点共圆，

∴∠CDE=∠CBA，∠C公用，

∴△CDE∽△CBA，

∴

∵BC=12，半径为5，

由（1）得AC=BC=10，CE=6，

即

解得CD=7．2，

∴AD=AC-CD=2．8；

∴sin∠ABD==．