Question

如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，交BC于点E．

（1）求证：BD=ID；

（2）求证：ID²=DE•DA．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题（1）连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形，利用等量代换即可证明；

（2）证△DBE∽△DAB，得DB2=DE•DA，再由（2）得DI2=DE•DA．

试题解析：（1）证明：连接BI，CI，CD，

∵I为内心，

∴AI为∠BAC角平分线，

BI为∠ABC平分线，

∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠DAC，

∵∠BID=∠ABI+∠BAI，

∠CBD=∠DAC=∠BAI，

∴∠BID=∠CBI+∠CBD=∠DBI，

∴△DBI为等腰三角形，

∴DB=DI；

（2）证明：∵∠DBE=∠CAD，∠BAE=∠CAE，

∴∠BAE=∠EBD，

∴△DBE∽△DAB，

∴

∴DB2=DE•DA，

又∵DB=DI（已证），

∴DI2=DE•DA．