Question

如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．

（1）求证：直线CD为⊙O的切线；

（2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．

Answer

（1）证明见解析；

（2），AD＝．

【解析】

试题（1）连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；

（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，设BO=BE=CO=x，所以OE=2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函数的定义即可求解．

试题解析：(1)连接OC

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC＝∠CAB

∵OA＝OC

∴∠OCA＝∠CAB

∴∠OCA＝∠DAC

∴AD∥CO

∵CD⊥AD

∴CD⊥AD

∴CD为⊙O的切线；

（2）∵AB＝2BO ， AB＝2BE

∴BO＝BE＝CO

设BO＝BE＝CO＝x ，

∴OE＝2x

在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2， x2＋()2＝(2x)2

∴x＝1

∴AE＝3 ，∠E＝30° ，

∴AD＝．