Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD．

（1）线段BD与ID相等吗？证明你的结论．

（2）证明：ID²=DE•AD．

Answer

（1）相等，证明见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）连接BI，证∠BIED∠IBD即可；∠IBD=∠4+∠5，∠BID=∠2+∠3；观察上述两个式子：I是△ABC的内心，则∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BID=∠IBD，由此得证；（2）由（1）知：ID=BD，即证BE是哪两条线段的比例中项，可通过找以BD为公共边的相似三角形；由（1）证得∠5=∠2，易证得△BED∽△ABD，由此可得出所求的结论．

（1）ID=BD，

理由：∵I是△ABC的内心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4；

∵∠BID=∠3+∠2，∠DBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，

∴∠BID=∠DBI；

∴ID=BD；

（2）证明：如图所示：

∵∠5=∠1，∠1=∠2；

∴∠5=∠2；

又∵∠D=∠D，

∴△BDE∽△ADB；

∴BD：DE=AD：BD；

∴BD2=AD•DE；

又∵ID=BD，

∴ID2=AD•DE．