Question

已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．

（1）如图，求证：EB=EC=ED；

（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC²=4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）存在，理由见解析.

【解析】

（1）连接BD，已知ED、EB都是⊙O的切线，由切线长定理可证得OE垂直平分BD，而BD⊥AC（圆周角定理），则OE∥AC；由于O是AB的中点，可证得OE是△ABC的中位线，即E是BC中点，那么Rt△BDC中，DE就是斜边BC的中线，由此可证得所求的结论；（2）由（1）知：BC=2BE=2DE，则所求的比例关系式可转化为（）2=DF•DC，即DE2=DF•DC，那么只需作出与△DEC相似的△DFE即可，这两个三角形的公共角为∠CDE，只需作出∠DEF=∠C即可；①∠DEC＞∠C，即180°-2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°时，∠DEF的EF边与线段CD相交，那么交点即为所求的F点；②∠DEC=∠C，即180°-2∠C=∠C，∠C=60°时，F与C点重合，F点仍在线段CD上，此种情况也成立；③∠DEC＜∠C，即180°-2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，∠DEF的EF边与线段的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的F点．

（1）证明：连接BD．
由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED=EB，∠DEO=∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE=EC，
∴EB=EC=ED．
（2）【解析】
在△DEC中，由于ED=EC，
∴∠C=∠CDE，
∴∠DEC=180°﹣2∠C．
①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F
满足条件．
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
这是因为：
在△DCE和△DEF中，∵∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE2=DF•DC．即（BC）2=DF•DC
∴BC2=4DF•DC．
②当∠DEC=∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC=∠C=60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF=DC=DE，仍有BC2=4DE2=4DF•DC．
③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．