Question

如图，已知抛物线y=ax²﹣4x+c经过点A（0，﹣6）和B（3，﹣9）．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；

（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．

 

Answer

（1）y=x2﹣4x﹣6；（2）抛物线的对称轴方程为x=2，抛物线的顶点坐标为（2，10）；（3）m=6，点Q的坐标为（﹣2，6）；（4）当M（2，﹣2）时，△QMA的周长最小．

【解析】

（1）将A、B点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得a、c的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）用配方法将（1）所得抛物线解析式化为顶点坐标式，即可得到其对称轴方程和顶点坐标．
（3）由于点P在抛物线的图象上，那么点P的坐标一定满足该抛物线的解析式，将其代入抛物线的解析式中，即可求得m的值，进而可根据（2）得到的对称轴方程求得点Q的坐标．
（4）△QMA中，QA的长是定值，若其周长最小，那么MA+MQ的值最小，由于Q、P关于抛物线的对称轴对称，若连接AP，那么直线AP与抛物线对称轴的交点必为所求的M点，可先利用待定系数法求得直线AC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程求出点M的坐标．

【解析】
（1）把A（0，﹣6），B（3，﹣9）代入y=ax2﹣4x+c得，解得，

所以抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣6；

（2）因为y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，

所以抛物线的对称轴方程为x=2，抛物线的顶点坐标为（2，10）；

（3）把P（m，m）代入y=x2﹣4x﹣6得m2﹣4m﹣6=m，

整理得m2﹣5m﹣6=0，解得m1=﹣1（舍去），m2=6，则P点坐标为（6，6），

点P（6，6）关于直线x=2的对称点为（﹣2，6），

即点Q的坐标为（﹣2，6）；

（4）连结AP交直线x=2于点M，如图，

∵P点和Q点关于抛物线的对称轴对称，

∵MA=MP，

∴MQ+MA=MP+MP=AP，

∴此时MQ+MA最小，则△QMA的周长最小，

设AP的解析式为y=kx+b，

把A（0，﹣6），P（6，6）代入得 ，解得，

∴直线AP的解析式为y=2x﹣6，

当x=2时，y=2x﹣6=﹣2，

∴当M（2，﹣2）时，△QMA的周长最小．