Question

(2014浙江金华)如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD＝3，另两边与反比例函数 (k≠0)的图象分别相交于点E、F，且DE＝2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题：

(1)①求反比例函数的解析式．

②当四边形AEGF为正方形时，求点F的坐标．

(2)小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”

针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等(直接写出结论即可)．这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．

Answer

（1）①②F(3，2) （2）不能全等

【解析】(1)①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，OD＝3，DE＝2，

∴E点坐标为(2，3)．

∴k＝2×3＝6．

∴反比例函数解析式为．

②设正方形AEGF的边长为a，则AE＝AF＝a，

∴A点坐标为(2＋a，3)，F点坐标为(2＋a，3－a)．

把点F的坐标代入，得(2＋a)(3－a)＝6，

解得a1＝1，a2＝0(舍去)，

∴F点的坐标为(3，2)．

(2)当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．

理由如下：

假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE＝OD＝3，AF＝DE＝2，

∴A点坐标为(5，3)，

∴F点坐标为(5，1)，而5×1＝5≠6，

∴F点不在反比例函数的图象上，

∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．

当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．

由矩形AEGF与矩形DOHE相似，

得AE︰OD＝AF︰DE，

∴，

设AE＝3t，则AF＝2t，

∴A点坐标为(2＋3t，3)，

∴F点坐标为(2＋3t，3－2t)，

把点F的坐标代入，得(2＋3t)(3－2t)＝6，

解得t1＝0(舍去)， ，

∴，

∴矩形AEGF与矩形DOHE的相似比为．