Question

如图(13.1)，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC＝2．

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；

(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

Answer

（1）y=x2－3x＋2

（2）点P的坐标为（，）或（，）

（3）1

【解析】

【解析】
（1）∵抛物线y=x2＋bx＋c过点C(0,2). ∴x=2

又∵tan∠OAC=="2," ∴OA=1,即A(1,0).

又∵点A在抛物线y=x2＋bx＋2上. ∴0=12＋b×1＋2,b=－3

∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2－3x＋2

（2）存在

过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,

∴x=－.∴AE=OE-OA=-1=,∵∠APC=90°,

∴tan∠PAE= tan∠CPD∴,即 ，解得PE=或PE=，

∴点P的坐标为（，）或（，）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）

（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x＋2，

∵点M是直线l′和线段BC的交点，∴M点的坐标为（t，-t+2）(0＜t＜2)

∴MN=-t+2-(t2－3t＋2)="-" t2＋2t

∴S△BCM= S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪(2-t)

=MN▪(t+2-t)="MN=-" t2＋2t(0＜t＜2),

∴S△BCN="-" t2＋2t=-(t-1)2+1

∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。

备注：如果没有考虑的取值范围，可以不扣分）