Question

我们可以将任意三位数表示为（其中a、b、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a0）显然，= 100a+10b+c；我们把形如和的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对“姊妹数”,789和987是一对“姊妹数”.

（1）一对“姊妹数”的和为1110，求这对“姊妹数”.

（2）如果用x表示百位数字，试说明：任意一对“姊妹数”的和能被37整除.

Answer

（1）456和654；（2）任意一对“姊妹数”的和能被37整除.

【解析】

（1）根据“姊妹数”的意义直接写出两对“姊妹数”，根据“姊妹数”的意义设出一个三位数，表示出它的“姊妹数”，求和，用1110建立方程求解，最后判断即可；

（2）表示出这对“姊妹数”，并且求和，写成37×6（x-1），判断6（x-1）是整数即可．

（1）设任意一对“姊妹数”中的一个三位数的十位数字为x，个位数字为(x1)百位数字为(x+1) （x为大于1小于9的整数），

则100（x+1）+10x+x-1=111x+99 ，

“姊妹数”为：100(x-1)+10x+1=111x-99，

和为：（111x+99）+（111x-99）=1110，

解之得，x=5

这对“姊妹数”为：456和654；

（2）由题意知：这个三位数百位数字为x(x为大于2小于9的整数),十位数字为x-1,个位数字为x-2，

则这个三位数为：100x+10(x-1)+(x-2)=111x-12，

其“姊妹数”为：100(x-2)+10(x-1)+x=111x-210，

和为：（111x-12）+（111x-210）=222x-222=222(x-1) =376(x-1)，

因为(x-1)为整数，

376(x-1)能被37整除.

任意一对“姊妹数”的和能被37整除.