Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC²＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．

（1）求证：△ADC∽△ACB；

（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；

（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）CE∥AD，理由见解析；（3）．

【解析】

试题（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；

（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明；

（3）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

试题解析：（1）∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

又∵AC2=AB•AD，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB；

（2）CE∥AD，

理由：∵△ADC∽△ACB，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

又∵E为AB的中点，

∴∠EAC=∠ECA，

∵∠DAC=∠CAE，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD；

（3）∵AD=4，AB=6，CE=AB=AE=3，

∵CE∥AD，

∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，

∴△CEF∽△ADF，

∴==，

∴=．