Question

阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．

求证：AB=CD．

证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．

Answer

【解析】

试题方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G，∴∠F=∠CGE=90°．又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴△BFE≌△CGE．∴BF=CG．在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，∴△ABF≌△DCG．∴AB=CD．

方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F，∴∠F=∠BAE．又∵∠ABE=∠D，∴∠F=∠D．∴CF=CD．

∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．∴AB=CF．∴AB=CD．

方法三：延长DE至点F，使EF=DE，又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，∴△BEF≌△CED．∴BF=CD，∠D=∠F．又∵∠BAE=∠D，∴∠BAE=∠F．∴AB=BF．∴AB=CD．