Question

如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．

（1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC=60°，求弧BC的长度．

（2）连接BD，求证：DE=DB．

Answer

（1）（2）详见解析.

【解析】

（1）设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，由圆周角定理得出∠BOC=120°，再由弧长公式即可得出结果；

（2）连接BE，由三角形的内心得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB=∠DBE，即可得出结论．

（1）【解析】
设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，如图1所示：

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°，

∴弧BC的长度==．

（2）证明：连接BE，如图2所示：

∵E是△ABC的内心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠DEB=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠5

∠5=∠2，

∴∠DEB=∠DBE，

∴DE=DB．​