Question

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90º，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30º；②AC=2AB；③S_△ADC=2S_△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（）

A. ①②③    B. ②③④    C. ①③④    D. ①②③④

Answer

D

【解析】

试题根据梯形的性质和直角三角形中的边角关系，逐个进行验证，即可得出结论．

【解析】
在直角三角形ABC中，∵AB=，BC=3，

∴tan∠ACB=．

∴∠ACB=30°．

∴∠BAC=60°，AC=2AB=2．②是正确的

∵AD∥BC，AE∥CD，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∴CE=AD=2．

∴BE=1．

在直角三角形ABE中，tan∠BAE=，∠BAE=30°．

∴∠CAE=30°．①是正确的

∴AE=2BE=2．

∵AE=CE，

∴平行四边形ADCE是菱形．

∴∠DCE=∠DAE=60°．

∴∠BAE=30°

又∵∠CAE=30°

∴∠BAO=60°

又∵AB=AO

∴△AOB是等边三角形，

∴∠ABO=60°．

∴∠OBE=30°．

∴BO⊥CD．④是正确的．

∵AD∥BC，AD=2BE．

∴S△ADC=2S△ABE，③是正确的．

∴①②③④都是正确的，故选D．