Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣（k+2）x+2k＝0

（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．

（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

Answer

（1）详见解析；（2）这个等腰三角形的周长为12．

【解析】

（1）先计算出△=[-（k+2）]2-4•2k=（k-2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；

（2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．

（1）证明：△＝[﹣（k+2）] 2﹣4•2k＝（k﹣2）2，

∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，

∴无论取任何实数值，方程总有实数根；

（2）【解析】
由x2﹣（k+2）x+2k＝0，得：（x﹣2）（x﹣k）＝0，

此方程的两根为x1＝k，x2＝2．

若x1≠x2，则x1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．

若x1＝x2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，

所以，这个等腰三角形的周长为12．