Question

如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若∠P=60°，PC=2，求PE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4-．

【解析】

试题(1)连接OC，由OB=OC及已知可得∠PCA=∠OCB．由直径所对的圆周角为直角有∠ACB=90°，从而可得∠OCP=90°，所以PC是⊙O的切线；(2)在Rt△PCO中，利用∠P的正切和正弦分别求得OC、OP的长，再根据PE=OP-OE计算即可．

试题解析：(1)连接OC． ∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB． 又∠PCA=∠ABC，∴∠PCA=∠OCB．∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°． ∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠PCA=90°，即∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切线；

(2)在Rt△PCO中，tan∠P=，∴OC=PCtan∠P=2tan60°=，sin∠P=，∴OP== =4，∴PE=OP-OE=OP-OC=4-．