Question

如图，抛物线y＝﹣+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线解析式为 ；（2）当x=2时，S有最大值为， E(2,1)；（3）P点坐标为（，）（，）（，-4）.

【解析】

（1）将A(-1，0)，C(0，2)代入抛物线解析式得 ，解得，

∴抛物线解析式为 ；

（2）由 ，可知对称轴为直线 ，∴D(,0) ，

令y=0，则，

解得

∴B(4,0) ，

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将B、C点坐标代入得，解得，

∴直线BC的解析式为，

设F(x,y)，EF⊥x轴于点H，则H（x,0），

∴梯形COHF的面积S1=，

Rt△BHF的面积S2=，

Rt△OCD的面积S3=，

∴四边形CDBF的面积S=S1+S2-S3=，

又∵F在抛物线上

∴将代入S得S=，

∵S是关于x的二次函数，a=-1＜0，

∴当x=2时，S有最大值为，

此时E点的横坐标x=2，

∵E点在直线BC上，

∴ ，∴E(2,1)；

（3）P点坐标为（，）（，）（，-4）.