Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．

（1）作线段AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接AM，判断△AMC的形状，并给予证明；

（3）求证：CM=2BM．

Answer

（1）见解析；（2）△AMC为直角三角形；（3）证明见解析.

【解析】

（1）尺规作图，要按照规范画图进行，要显示作图痕迹．

（2）明确△ABC各内角的度数，根据垂直平分线的性质，连接AM，即可求出∠MAC的度数；

（3）由（2）知△AMC为直角三角形，得出CM与AM的数量关系即可得出结论；

（1）

（2）△AMC为直角三角形．

连接AM，则BM=AM，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°，

∴△AMC为直角三角形；

（3）∵∠CAM=90°，∠C=30°，

∴CM=2AM．

∵MN垂直平分AB，

∴AM=BM，

∴CM=2BM．