Question

已知锐角△ABC内接于O，AD⊥BC.垂足为D.

(1)如图1,若，BD=DC，求∠B的度数.

(2)如图2,BE⊥AC,垂足为E,BE交AD于点F,过点B作BG∥AD交⊙O于点G，在AB边上取一点H，使得AH=BG；

①连接CG，试探究∠ABC，∠ACG的数量关系，并给予证明.

②求证：△AFH是等腰三角形.

Answer

（1）60o;（2）①∠ABC+∠ACG=90°;②⊿AFH是等腰三角形.

【解析】

（1）先根据=,可知AB=BC，再由AD⊥BC，BD=DC可知AD是线段BC的垂直平分线，故AB=AC，由此可知△ABC是等边三角形，故可得出结论；
（2）①连接GC，GA，根据得到GC为⊙O的直径，根据圆周角定理得到即可求出∠ABC，∠ACG的数量关系.

②根据BG⊥BC可知GC是 O的直径，故∠GAC=90°，由此可判断出四边形GBFA是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出结论．

(1)∵=,

∴AB=BC.

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD是线段BC的垂直平分线，

∴AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B=60o；

(2)连接GC，GA，

①∵BG⊥BC，

∴GC是O的直径，

∴

②∵BE⊥AC，

∴

∴AG∥BE.

∵AD⊥BC，

∴

∴BG∥AD，

∴四边形GBFA是平行四边形，

∴BG=AF.

∵BG=AH，

∴AH=AF，

∴△AFH是等腰三角形.