Question

如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为（ ）

A. 72cm    B. 36cm    C. 20cm    D. 16cm

Answer

A

【解析】

在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，

∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF。

∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC。

∵tan∠EFC=，∴tan∠BAF =。∴设BF=3x、AB=4x。

在Rt△ABF中，根据勾股定理可得AF=5x，∴AD=BC=5x。∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x。

∵tan∠EFC=，∴CE=CF•tan∠EFC=2x•=x。∴DE=CD﹣CE=4x﹣x=x。

在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即（5x）2+（x）2=（10）2，整理得，x2=16，解得x=4。

∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，矩形的周长=2（16+20）=72cm。故选A。