Question

如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E.

（l）求证：△ACD是等边三角形；

（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题（1）根据切线的定义可知AB⊥BM，又∵BM//CD，∴AB⊥CD，根据圆的对称性可得AD=AC，再根据等弧对等弦得DA=DC，即DA=DC=AC，所以可得△ACD是等边三角形；（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，由三线合一可得∠DAB=30°，连接BD，根据直径所对的角是直角和三角形的内角和可得∠∠EBD＝∠DAB＝30°，因为DE＝2，求出BE＝4，根据勾股定理得，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得， ， ，在Rt△OBE中，根据勾股定理即可得出OE的长．

试题解析：证：∵BM是⊙O切线，AB为⊙O直径，∴AB⊥BM，∵BM//CD，∴AB⊥CD，

∴AD＝AC，∴AD＝AC，∴DA＝DC，∴DC＝AD，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD为等边三角形.

证：（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，∴∠DAB＝30°，连结BD，∴BD⊥AD.

∠EBD＝∠DAB＝30°，∵DE＝2，∴BE＝4， ， ， ，

在Rt△OBE中， ．