Question

问题情境：小明和小丽共同探究一道数学题：如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD = 65°，∠DAC = 50°，AD = 2，求AC的长为多少．

探索发现;

小明的思路是：延长AD至点E，使DE = AD，构造全等三角形．

小丽的思路是：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造全等三角形．

选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．

类比应用:如图②，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，AB⊥AC．若∠CAD=45°，∠ADC = 67.5°，AO = 2，则BC的长为___________．

Answer

探索发现：AC的长为4；类比应用：

【解析】

探索发现:按照两个人的做题思路，作图，证明全等即可.

类比应用:参照探索发现的方法，进行求解即可.

探索发现

小明的方法：

延长AD至点E，使DE=AD=2，如图．

∴AE=AD+DE=2+2=4．

∵点D是边BC的中点，

∴BD=CD．

∵∠ADB=∠EDC，

∴△ABD≌△ECD．

∴∠AEC=∠BAD=65°．

∴∠ACE=180°-∠EAC-∠AEC=180°-50°-65°=65°．

∴∠ACE=∠AEC．

∴AC=AE=4．

∴AC的长为4．

小丽的方法：

过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，如图．

∴∠DCE =∠ABD，∠AEC=∠BAD=65°．

∴∠ACE=180°-∠EAC-∠AEC=180°-50°-65°=65°．

∴∠ACE=∠AEC．

∴AC=AE．

∵点D是边BC的中点，

∴BD=CD．

∴△ABD≌△ECD．

∴DE=AD=2．

∴AE=AD+DE=2+2=4．

∴AC=AE=4．

∴AC的长为4．

类比应用: 过点D作DE∥AB，交AD于点E，如图．

∴∠AED =∠DEC =∠BAC=90°，

∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=180°-45°-67.5°=67.5°．

∴∠ACD=∠ADC．

∴AC=AD．

∵点O是边BD的中点，

∴BO=OD．

∴△ABO≌△EDO．

∴AO=OE=2．

∴AE=DE=AB=4．

∴

故答案为：.