Question

对于给定的两个函数和，在这里我们把叫做这两个函数的积函数，把直线和叫做抛物线的母线．

（1）直接写出函数和的积函数，然后写出这个积函数的图象与x轴交点的坐标．

（2）点P在（1）中的抛物线上，过点P垂直于x轴的直线分别交此抛物线的母线于M、N两点，设点P的横坐标为m，求时m的值．

（3）已知函数和．当它们的积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，求n的值以及这个积函数的最小值．

Answer

（1）交于（3,0）（-1,0）

（2）m=1，

（3）n=3，y=-7

【解析】

（1）利用积函数的定义直接得出结论，最后令y=0，解方程即可求出与x轴的交点坐标；

（2）设出点P的坐标，进而表示出点M，N的坐标，即可求出PM，PN，最后用PM=PN建立方程求解即可得出结论；

（3）先确定出积函数，利用此函数的增减性，判断出x=2时，y最大求出n，最后将x=-1代入抛物线解析式即可确定出最小值.

【解析】
（1）∵函数y=x-3和y=-x-1，

∴函数y=x-3和y=-x-1的积函数为y=（x-3）（-x-1）=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3，

令y=0，

∴-（x+1）（x-3）=0，

∴x=-1或x=3，

∴积函数的图象与x轴交点的坐标为（-1，0）和（3，0）；

（2）由（1）知，抛物线解析式为y=-x2+2x+3，设P（m，-m2+2m+3），

∵函数y=x-3和y=-x-1，

∴M（m，m-3），N（m，-m-1），

∴PM=|-m2+2m+3-（m-3）|=|m2-m-6|，

PN=|-m2+2m+3-（-m-1）|=|m2-3m-4|，

∵PM=PN，

∴|m2-m-6|=|m2-3m-4|，

∴m=1或m=1±；

（3）①∵函数y=x-2n和y=-x，

∴函数y=x-2n和y=-x积函数为y=（x-2n）（-x）=-x2+2nx=-（x-n）2+n2，

∵积函数自变量的取值范围是-1≤x≤2，且当n≥2时，这个积函数的最大值是8，

∴当x=2时，yman=-4+4n=8，

∴n=3，

∴积函数的解析式为y=-x2+6x，

当x=-1时，ymin=-1-6=-7.