Question

已知P为所在平面内一点，连接PA，PB，PC，在，和中，若存在一个三角形与相似全等除外那么就称P为的共相似点”根据“共相似点“是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为内共相似点”，“边共相似点或“外共相似点”．

据定义可知，等边三角形______填“存在”或“不存在共相似点

（探究）用边共相似点探究三角形的形状

如图1，若的一个边共相似点P与其对角项点B的连线，将分割成的两个三角形恰与原三角形均相似，试判断的形状，并说明理由．

（探究2）用内共相似点探究三角形的内角关系

如图2，在中，，高线CD与角平分线BE交于点P，若P是的一个内共相似点试说明点E是的边共相似点，并直接写出的度数；

（探究）探究直角三角形共相似点的个数

如图3，在中，，，，若与相以，则满足条件的P点共有______个

Answer

（1）不存在；（2）是直角三角形；（3）；（4）的“共相似点”共有8个

【解析】

根据“共相似点”的定义容易得出结论；

根据题意得：∽，由相似三角形的性质得出，同理得：，得出，求出即可；

根据题意得：∽，由相似三角形的性质得出，，再由角平分线角平分线定义得出，证出∽，得出点E是的边共相似点；由直角三角形的性质得出，得出，求出；

通过作图得出的“共相似点”共有8个，

根据“共相似点”的定义得：等边三角形不存在共相似点．

故答案为：不存在；

是直角三角形，理由如下：

根据题意得：∽，

，

同理得：，

，

解得：，

是直角三角形；

根据题意得：∽，

，，

平分，

，

，

，

，，

∽，

点E是的边共相似点；

是的高，

，

，

，

解得：；

作于P，则P为的“共相似点”；

过B作BC的垂线与CP的延长线的交点是的“共相似点”；

作的平分线与AC的交点是的“共相似点”；

过C作的垂线，垂足是的“共相似点”；

同理：以上四个的“共相似点”关于直线BC的对称点是的“共相似点”；

的“共相似点”共有8个，如图所示：