Question

已知二次函数y=a(x-m)²-2a(x-m)（a,m为常数，且a≠0）.

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题(1)二次函数和x轴有两个交点，判别式>0即可；

（2）先求出顶点坐标，由△ABC是等腰直角三角形，可以得出AB边上高等于1，即可得出a的值.

试题解析：

（1）证明：y=a(x-m)2-2a(x-m)=ax2-(2am+2a)x+am2+2am

当a≠0时,=（2am+2a）2-4a(am2+2am)

∵

∴

∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．

（2）y=a(x-m)2-2a(x-m)=a(x-m-1)2-a

∴C(m+1,-a)

当y=0时，

解得x1=m，x2=m+2.

∴AB=（m+2）-m=2.

当△ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1．

∴．

∴．