Question

如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．

（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；

（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）

（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？

Answer

（1）；（2）不能并列通过两艘游轮；（3）12

【解析】（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则A、B、F的坐标分别为（-50，0），（50，0），（0，20），设抛物线的解析式为y=ax2+20，将B的坐标代入求出a即可.

（2）求出x=30时的函数值，即可判断函数值大于等于16可以通过，小于16不能通过.

（3）求出x=±30、±20、±40的函数值，即可判断.

【解析】
（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.

则A、B、F的坐标分别是（-50， 0），（50， 0），（0，20）．

设抛物线的解析式为y=ax2+20，

将B的坐标代入得 ： .

∴ 抛物线的表达式是y=+20．

（2）把x=28+2=30代入解析式， ，

∵12.8＜16 ∴ 不能并列通过两艘游轮.

（3）由（2）得，当x=±30时，y=12.8，

又∵当x=±20时， ＞13，

∴水面只能没过最左边和最右边各两根钢柱.

∵当x=±40时， ，

∴没在水面下的立柱总长为2×[(13-7.2)+(13-12.8)]=12 米.

“点睛”本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键.