Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,tanA=4/3,点D是斜边AB上的动点，连接CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E,设AD=x。（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；（3）如果y=DE/DB。求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。

Answer

(1)DE=;(2)（i）x=;（ii）AD=2;(3)y=（0＜x＜10）．

【解析】

试题（1）在直角三角形ABC中，由AB与tanA的值，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出BC与AC的长，由D为斜边上的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD=5，可得出∠DCB=∠DBC，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到△EDC与△ACB相似，由相似得比例，即可求出DE的长；

（2）分两种情况考虑：

（i）当E在BC边上时，由△BDE为等腰三角形且∠BED为钝角，得到DE=BE，利用等边对等角得到∠EBD=∠EDB，利用等角的余角相等得到∠CDA=∠A，利用等角对等边得到CD=AC，作CH垂直于AB，利用三线合一得到AD=2AH，由cosA的值求出AH的长，进而求出AD的长，即为x的值；

（ii）当E为BC延长线上时，与∠DBE为钝角得到DB=BE，同理求出x的值；

（3）作DM垂直于BC，得到DM与AC平行，由平行得比例，表示出DM与BM，进而表示出CD与CM，由三角形DEM与三角形CDM相似得比例，表示出DE，由BD=AB-AD=10-x，将DE与DB代入表示出y，化简得到结果，并求出x的范围即可．

试题解析：

（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，tanA="4" 3 ，

∴BC=8，AC=6，

∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=BD=5，

∴∠DCB=∠DBC，

∵∠EDC=∠ACB=90°，

∴△EDC∽△ACB，

∴DE:CD="AC:BC" ，即DE:5="6:8" ，

则DE=；

（2）分两种情况情况：

（i）当E在BC边长时，

∵△BED为等腰三角形，∠BED为钝角，

∴EB=ED，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EDC=∠ACB=90°，

∴∠CDA=∠A，

∴CD=AC，

作CH⊥AB，垂足为H，那么AD=2AH，

∴AH:AC="3:5" ，即AH=，

∴AD=，即x=；

（ii）当E在CB延长线上时，

∵△BED为等腰三角形，∠DBE为钝角，

∴BD=DE，

∴∠BED=∠BDE，

∵∠EDC=90°，

∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°，

∴∠BCD=∠BDC，

∴BD=BC=8，

∴AD=x=AB-BD=10-8=2；

（3）作DM⊥BC，垂足为M，

∵DM∥AC，

∴DM:AC="BM:BC=BD:BA" ，

∴DM=（10-x），BM=（10-x），

∴CM=8-（10-x）=x，CD= x2−x+36 ，

∵△DEM∽△CDM，

∴DE:DM="CD:CM" ，即DE=，

∴y=，

整理得：y=（0＜x＜10）．