Question

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；

（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）如图③，作 QD∥AB交 BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？

Answer

（1）（2）3或 （3）或2

【解析】

(1)由题意可知BP=t,AQ=2t,则AP=6-t由AP=3AQ可得到关于t的方程,可求得的值;

(2)分∠APQ=90和ΔAQP=90两种情况,再利用含30角的直角三角形的性质可和AP=2AQ,或AQ=2AP,分别求即可;

(3) 由已知可证得△CDQ 是等边三角形，分△BPD∽△PDQ ，△BPQ ∽△QDP 两种情况讨论，可得t的值.

（1）由题意知，AQ＝2t，BP＝t，

∵△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，

∴∠A＝60°，AB＝6，

∴AP＝AB﹣BP＝6﹣t，

∵AP＝3AQ，

∴6﹣t＝3×2t，

∴t＝，

即：t＝秒时，AP＝3AQ；

（2）由（1）知，∠A＝60°，AQ＝2t，AP＝6﹣t，

∵△APQ 为直角三角形，

①当∠APQ＝90°时，AQ＝2AP，

∴2t＝2（6﹣t），

∴t＝3 秒，

②当∠AQP＝90°时，AP＝2AQ，

∴6﹣t＝2×2t，

∴t＝秒，

即：t＝3 秒或秒时，△APQ 是直角三角形；

（3）由题意知，AQ＝2t，BP＝t，

∴AP＝6﹣t，

∵△ABC 是等边三角形，

∴∠A＝∠C＝60°，

∵QD∥AB，

∴∠PDQ＝∠BPD，∠QDB＝∠A＝60°，

∴△CDQ 是等边三角形，

∴CD＝CQ，

∴BD＝AQ＝2t，

∵△BDP 与△PDQ 相似，

∴①当△BPD∽△PDQ 时，

∴∠B＝∠DPQ＝60°，

∴∠APQ＝∠BDP，

∵∠A＝∠B，

∴△APQ∽△BDP，

∴，

∴，

∴t＝秒，

②当△BPQ ∽△QDP 时，

∴∠B＝∠DQP＝60°，

∵DQ∥AB，

∴∠APQ＝DQP＝60°，

∵∠A＝60°，

∴△APQ 是等边三角形，

∴AP＝AQ，

∴6﹣t＝2t，

∴t＝2 秒，

即：t＝秒或 2 秒时，△BDP 与△PDQ 相似．