Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴正半轴上，OB在y轴负半轴上，且OA=，OB=1，以点B为顶点的抛物线经过点A．

（1）求出该抛物线的解析式．

（2）第二象限内的点M，是经过原点且平分Rt△AOB面积的直线上一点．若OM=2，请判断点M是否在（1）中的抛物线上？并说明理由．

（3）点P是经过点B且与坐标轴不平行的直线l上一点．请你探究：当直线l绕点B任意旋转（不与坐标轴平行或重合）时，是否存在这样的直线l，在直线l上能找到点P，使△PAB与Rt△AOB相似（相似比不为1）？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=x2﹣1（2）点M不在抛物线y=x2﹣1上（3）存在三条直线l：y=﹣x﹣1，y=﹣x﹣1和y=x﹣1，在上述直线l上能找到点P，使Rt△PAB与Rt△AOB相似

【解析】

（1）依题意得到A与B的坐标，根据B为抛物线的顶点，设出抛物线的解析式，将A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）点M不在抛物线上，理由为：设抛物线与x轴的另一个交点为C，直线OM交AB于点D，由题意得到D为AB的中点，得到AD=OD=BD，得到∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，作MN垂直于OC，求出MN与ON的长，确定出M坐标，代入抛物线解析式检验即可得到结果；
（3）存在，在Rt△AOB中，AO=，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，分三种情况考虑：①当∠ABP=90°时，若∠AP1B=60°，则△ABP1∽△AOB，由相似得比例，确定出P1的坐标，再由B坐标确定出直线l解析式即可；②当∠ABP=60°时，若∠BAP5=90°，则△ABP5∽△OBA，由相似得比例求出P5坐标，同理确定出直线l解析式；③当∠ABP=30°且直线l在AB上方时，若∠P6AB=90°，则△ABP6∽△OAB，由相似得比例求出P6坐标，同理确定出直线l解析式，综上，得到直线l上能找到点P，使Rt△PAB与Rt△AOB相似时的所有解析式．

（1）依题意得：A（，0），B（0，﹣1），

∵B为抛物线的顶点，

∴设抛物线解析式为y=ax2﹣1，

将A坐标代入得：3a﹣1=0，即a=，

则抛物线解析式为y=x2﹣1；

（2）点M不在抛物线y=x2﹣1上，理由为：

设抛物线与x轴的另一个交点为C，直线OM交AB于点D，作MN⊥OC于点N，

由题意得：D为AB的中点，即OD=AD=BD，

∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，

在Rt△OMN中，OM=2，

∴MN=1，ON=，即M（﹣，1），

∵y=×（﹣）2﹣1=0≠1，

∴点M不在抛物线y=x2﹣1上；

（3）存在，在Rt△AOB中，AO=，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，

分三种情况考虑：

①当∠ABP=90°时，若∠AP1B=60°，则△ABP1∽△AOB，

∴=，即BP1==，

∴OP1=，即P1（﹣，0），[这里也利用求出P2（﹣，2）或P3（，﹣2）或P4（，﹣4）]，

设直线l解析式为y=kx+b，将B与P1坐标代入得：，

解得：，

此时直线l解析式为y=﹣x﹣1；

②当∠ABP=60°时，若∠BAP5=90°，则△ABP5∽△OBA，

∴=，即BP5==4，

过P5作P5C⊥y轴于点G，在Rt△BGP5中，∠P5BG=60°，

∴P5G=2，BG=2，即P5（2，﹣3），

同理求出直线l解析式为y=﹣x﹣1；

③当∠ABP=30°且直线l在AB上方时，若∠P6AB=90°，则△ABP6∽△OAB，

∴=，即BP6==，

过P6作P6H⊥y轴于点H，在Rt△BP6H中，∠P6BH=30°，

∴P6H=，BH=2，

∴P6（，1），

同理得到直线l解析式为y=x﹣1，

综上，存在三条直线l：y=﹣x﹣1，y=﹣x﹣1和y=x﹣1，在上述直线l上能找到点P，使Rt△PAB与Rt△AOB相似．