如图,抛物线交轴于点,交轴于点,已知经过点的直线的表达式为.
(1)求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标;
(2)如图①,点是线段上的一个动点,其中,作直线轴,交直线于,交抛物线于,作∥轴,交直线于点,四边形为矩形.设矩形的周长为,写出与的函数关系式,并求为何值时周长最大;
(3)如图②,在抛物线的对称轴上是否存在点,使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形.若存在,直接写出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
图① 图②
如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△AOB的直角边OA在x轴正半轴上,OB在y轴负半轴上,且OA=,OB=1,以点B为顶点的抛物线经过点A.
(1)求出该抛物线的解析式.
(2)第二象限内的点M,是经过原点且平分Rt△AOB面积的直线上一点.若OM=2,请判断点M是否在(1)中的抛物线上?并说明理由.
(3)点P是经过点B且与坐标轴不平行的直线l上一点.请你探究:当直线l绕点B任意旋转(不与坐标轴平行或重合)时,是否存在这样的直线l,在直线l上能找到点P,使△PAB与Rt△AOB相似(相似比不为1)?若存在,求出直线l的解析式;若不存在,说明理由.
我校为了迎接体育中考,了解学生的体育成绩,从全校500名九年级学生中随机抽取了部分学生进行体育测试,其中“跳绳”成绩制作图如下:
成绩段 | 频数 | 频率 |
160≤x<170 | 5 | 0.1 |
170≤x<180 | 10 | a |
180≤x<190 | b | 0.14 |
190≤x<200 | 16 | c |
200≤x<210 | 12 | 0.24 |
表(1)
根据图表解决下列问题:
(1)本次共抽取了多少名学生进行体育测试,表(1)中,a、b、c分别等于多少?
(2)补全图(2),所抽取学生成绩中中位数在哪个分数段;
(3)“跳绳”数在180以上,则此项成绩可得满分.那么,你估计全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分?
袋子中装有3个带号码的球,球号分别是2,3,5,这些球除号码不同外其他均相同.
(1)从袋中随机摸出一个球,求恰好是3号球的概率;
(2)从袋中随机摸出一个球,再从剩下的球中随机摸出一个球,用树形图列出所有可能出现的结果,并求两次摸出球的号码之和为5的概率.
2018年全球葵花籽产量约为4200万吨,比2017年上涨2.1%,某企业加工并销售葵花籽,假设销售量与加工量相等,在图中,线段AB、折线CDB分别表示葵花籽每千克的加工成本y1(元)、销售价y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系;
(1)请你解释图中点B的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式;
(3)当0<x≤90时,求该葵花籽的产量为多少时,该企业获得的利润最大?最大利润是多少?
如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化?写出函数关系式及t的取值范围.