Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：

①BH=DH；②CH=(+1)EH；③＝ ． 其中正确的是（　　）

A. ①②    B. ②③    C. ①③    D. ①②③

Answer

B

【解析】

①如图，过H作HM⊥BC于M，根据角平分线的性质可以得到DH=HM，而在Rt△BHM中BH＞HM，所以容易判定①是错误的；

②设HM=x，那么DH=x，由于∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，由此得到∠DBC=45°，而AD∥CB，由此可以证明△ADB是等腰直角三角形，又CE平分∠BCD，∠BDC=∠ABC=90°，由此可以证明△DCH∽△EBC，再利用相似三角形的性质可以推出∠BEH=∠DHC，然后利用对顶角相等即可证明∠BHC=∠BEH，接着得到BH=BE，然后即可用x分别表示BE、EN、CD，又由EN∥DC可以得到△DCH∽△NEH，再利用相似三角形的性质即可结论②；

③利用（2）的结论可以证明△ENH∽△CBE，然后利用相似三角形的性质和三角形的面积公式即可证明结论③．

①如图，过H作HM⊥BC于M，

∵CE平分∠BCD，BD⊥DC

∴DH=HM，

而在Rt△BHM中BH＞HM，

∴BH＞HD，

∴所以容易判定①是错误的；

②∵CE平分∠BCD，

∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°，

∴∠BEH=∠DHC，

而∠DHC=∠EHB，

∴∠BEH=∠EHB，

∴BE=BH，

设HM=x，那么DH=x，

∵BD⊥DC，BD=DC，

∴∠DBC=∠ABD=45°，

∴BH=x=BE，

∴EN=x，

∴CD=BD=DH+BH=（+1）x，

即，

∵EN∥DC，

∴△DCH∽△NEH，

∴，即CH=（+1）EH；

③由②得∠BEH=∠EHB，

∵EN∥DC，

∴∠ENH=∠CDB=90°，

∴∠ENH=∠EBC，

∴△ENH∽△CBE，

∴EH：EC=NH：BE，

而，

∴．

所以正确的只有②③．

故选B．