Question

如图，AB为⊙O的直径，D为弦BC的中心，连接OD并延长交过点C的切线于点P，连接AC．求证：△CPD∽△ABC．

Answer

详见解析.

【解析】

连接OC．则∠OCP=90°，再由AB是⊙O的直径，得AC⊥CD．根据D为弦BC的中心，则OP⊥BC，再由弦切角定理得出∠PCD=∠A，从而得出结论．

证明：连接OC．

∵PC是⊙O的切线，点C为切点，

∴∠OCP=90°．

∵AB是⊙O的直径，

∴AC⊥CD．

又点D为弦BC的中点，

∴OP⊥CD．

∴∠P+∠POC=90°，

∠OCD+∠POC=90°．

∴∠P=∠OCD．

∵OC=OB，

∴∠OCD=∠B．

∴∠P=∠B．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠CDP=∠ACB=90°．

∴△CDP∽△ABC．