Question

一副三角尺按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．

（1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是多少度；

（2）当t等于多少秒时，边PB平分∠CPD；

（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．

①当t为何值时，边PB平分∠CPD；

②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）115；（2）26.25；（3）①t＝21秒，②t＝25秒时，∠BPD＝2∠APC．

【解析】

（1）当t=5秒时，由旋转知，4°×5=20°即可得出结论；

（2）由旋转知，旋转角为4t，进而建立方程4t=180-×60-45=105，即可得出结论；

（3）①由旋转建立方程4t=180-×60-t-45，即可得出结论；

②分两种情况表示出∠APC，∠BPD，用∠BPD=2∠APC，建立方程即可得出结论．

（1）当t＝5秒时，由旋转知，4°×5＝20°，

∵△ABP是等腰直角三角形，

∴∠APB＝45°，

此时，边PB经过量角器刻度对应的度数是135°，

∴旋转5秒时，边PB经过量角器刻度对应的度数是135°﹣20°＝115°，

（2）由旋转知，旋转角为4t，

∵边PB平分∠CPD且∠DPC＝60°，

∴4t＝180﹣×60﹣45＝105，

∴t＝26.25秒，

（3）①同（2）的方法得，4t＝180﹣×60﹣t﹣45，

∴t＝21秒

②当边PA在边PC左侧时，

由旋转知，∠APC＝180﹣4t﹣60＝120﹣4t，∠BPD＝180﹣45﹣t＝135﹣t，

∵∠BPD＝2∠APC，

∴135﹣t＝2（120﹣4t），

∴t＝21秒，

当边PA在边PC右侧时，

由旋转知，∠APC＝4t+t+60﹣180＝5t﹣120，∠BPD＝135﹣5t，

∵∠BPD＝2∠APC，

∴135﹣5t＝2（5t﹣120），

∴t＝25秒，

即t＝21秒或25秒时，∠BPD＝2∠APC．