Question

如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M

（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为　   　°

（2）如图2，当α＝60°时，∠AMD的度数为　   　°

（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示∠AMD，并图3进行证明；若不确定，说明理由．

Answer

（1）90；（2）60；（3）∠AMD＝180°﹣α，证明详见解析．

【解析】

（1）如图1中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，可得∠AMK=∠BOK=90°；

（2）如图2中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=60°；

（3）如图3中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，可得∠OBD=∠OAC，由∠AKO=∠BKM，推出∠AOK=∠BMK=α．可得∠AMD=180°-α.

（1）如图1中，设OA交BD于K．

∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，

∴∠BOD＝∠AOC，

∴△BOD≌△AOC，

∴∠OBD＝∠OAC，

∵∠AKM＝∠BKO，

∴∠AMK＝∠BOK＝90°．

故答案为90．

（2）如图2中，设OA交BD于K．

∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，

∴∠BOD＝∠AOC，

∴△BOD≌△AOC，

∴∠OBD＝∠OAC，

∵∠AKM＝∠BKO，

∴∠AMK＝∠BOK＝60°．

故答案为60．

（3）如图3中，设OA交BD于K．

∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，

∴∠BOD＝∠AOC，

∴△BOD≌△AOC，

∴∠OBD＝∠OAC，

∵∠AKO＝∠BKM，

∴∠AOK＝∠BMK＝α．

∴∠AMD＝180°﹣α．