Question

如图1，A（﹣2，0），B（0，4），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．

（1）求C点的坐标；

（2）在坐标平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△AEM，过M作MN⊥x轴于N，求OE﹣MN的值．

Answer

（1）C（-4，6）；（2）存在，（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）；（3）2．

【解析】

试题（1）作CE⊥y轴于E，证明△CBE≌△BAO即可得出结论；（2）分为四种情况讨论：①当P和C重合时，△PAB和△ABC全等，即此时P的坐标是（-4，6）；②点P在第二象限，过P作PE⊥x轴于E，满足∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，PA=AB，则此时△PAB和△ABC全等，证明△PEA≌△AOB即可得出P点坐标；③点P在第一象限，作∠CAP=90°，交CB的延长线于P，此时△PAB和△ABC全等，过P作PE⊥x轴于E，证明△CMA≌△AEP即可求得P点坐标；④P点在第四象限，作∠BAP=90度，AP=AB，此时△PAB和△ABC全等，证明△AOB≌△PEA即可求出P点坐标；（3）作MF⊥y轴于F，把OE-MN转化成OE-OF，于是OE-MN就等于EF的值，然后证明△AEO≌△EMF，把EF值转化成AO的长度，就求出了OE-MN的结果．

试题解析：（1）作CE⊥y轴于E，如图1，

∵A（-2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，∵∠CBA=90°，∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°∠CBE+∠ABO=90°，∴∠ECB=∠ABO，在△CBE和△BAO中，∠ECB=∠ABO，∠CEB=∠AOB，BC=AB，∴△CBE≌△BAO（AAS），∴CE=BO=4，BE=AO=2，即OE=2+4=6，因为C点在第二象限，∴C（-4，6）．

（2）分四种情况讨论：①如图2，当P和C重合时，△PAB和△ABC全等，即此时P的坐标是（-4，6）；

②如图3，点P在第二象限，过P作PE⊥x轴于E，满足∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，PA=AB，则此时△PAB和△ABC全等，∵∠EPA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAO=90°，∴∠EPA=∠BAO（同角的余角相等），在△PEA和△AOB中，∠EPA=∠BAO，∠PEA=∠AOB，PA=AB，∴△PEA≌△AOB，∴PE=AO=2，EA=BO=4，∴OE=2+4=6，即P的坐标是（-6，2）；

③如图4，点P在第一象限，作∠CAP=90°，交CB的延长线于P，此时△PAB和△ABC全等，过P作PE⊥x轴于E，过C作CM⊥x轴于M，

则∠CMA=∠PEA=90°，∵△CBA≌△PBA，∴∠PAB=∠CAB=45°，AC=AP，∴∠CAP=90°，∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠PAE=90°，∴∠MCA=∠PAE，在△CMA和△AEP中，∠MCA=∠PAE，∠CMA=∠PEA，AC=AP，∴△CMA≌△AEP，∴PE=AM，CM=AE，∵C（-4，6），A（-2，0），

∴PE=AM=4-2=2，OE=AE-A0=6-2=4，即P的坐标是（4，2）；

④如图5，P点在第四象限，作∠BAP=90度，AP=AB，此时△PAB和△ABC全等，过P作PE⊥x轴于E，

∵△CBA≌△PAB，∴AB=AP，∠CBA=∠BAP=90°，则∠AEP=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠PAE=90°，∠PAE+∠APE=90°，∴∠BAO=∠APE，在△AOB和△PEA中，∠BAO=∠APE，∠AOB=∠PEA，AB=AP，∴△AOB≌△PEA，∴PE=AO=2，AE=OB=4，∴0E=AE-AO=4-2=2，即P的坐标是（2，-2）．综上所述：坐标平面内存在一点P，使△PAB与△ABC全等，符合条件的P的坐标是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）．（3）如图6，作MF⊥y轴于F，

则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°，∵∠AEO+∠MEF=90°，∠MEF+∠EMF=90°，∴∠AEO=∠EMF，在△AOE和△EMF中，∠AOE=∠EFM，∠AEO=∠EMF，AE=EM，∴△AEO≌△EMF，∴EF=AO=2，MF=OE，∵MN⊥x轴，MF⊥y轴，∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°，∴四边形FONM是矩形，∴MN=OF，∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2．即OE-MN的值是2．