Question

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？

（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3（2）点D为OC的中点时，线段EF最长（3）当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形

【解析】

（1）由于已知抛物线与x轴交点坐标，则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设E（t，-t+3），接着表示出D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3），然后用t表示出EF的长，再利用二次函数的性质确定EF最大时的t的值，从而判断点D是否为OC的中点；
（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3）和利用两点间的距离公式表示出CD2，CF2，DF2，然后分类讨论：当CD=CF或FC=FD或DC=DF时得到关于t的方程，接着分别解关于t的方程即可．

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，

所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3；

（2）他猜想正确．理由如下：

设直线BC的解析式为y=mx+n，

把C（0，3），B（3，0）代入得 ，解得，则直线BC的解析式为y=﹣x+3，

设E（t，﹣t+3），则D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），

所以EF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，

当t=时，EF最大，最大值为，

此时D点坐标为（0，），

所以点D为OC的中点时，线段EF最长；

（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），

∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2 ， CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2 ， DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2 ，

当CD=CF时，即t2=t2+（﹣t2+2t）2 ， 解得t1=0，t2=2；

当FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=；

当DC=DF时，即t2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=3；

综上所述，当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形．