Question

已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax²+bx+1．

（1）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax²+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；

（2）若把直线l向上平移k²+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；

（i）求此抛物线的解析式；

（ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，

求证：OP=PQ．

Answer

（Ⅰ）a=﹣；（Ⅱ）（i）y=﹣ x2+1；（ii）证明见解析.

【解析】

（1）可用a表示出抛物线的顶点坐标,再代入直线方程可求得a的值,

（2）（i）由于k为任意非零实数,可取k=1和k=2,再联立两解析式消去y,得到的一元二次方程有两个相等的实数根可得到两个关于a、b的方程,可求得a、b的值,即可求得拋物线解析式; （ii）设出P点坐标,连接OP,过P作PQ⊥直线y=2,作PD⊥x轴于点D,可分别表示出OP和PQ,可证明其相等

【解析】
（1）将k=1，b=1代入得：抛物线的解析式为y=ax2+x+1，直线的解析式为y=x．

∵y=ax2+x+1=a（x+ ）2+1﹣ ，

∴抛物线的顶点为（﹣ ，1﹣ ）．

∵抛物线的顶点在直线y=x上，

∴﹣ =1﹣ ，

解得：a=﹣ ．

（2）（i）将直线y=kx向上平移k2+1个单位，所得直线的解析式为y=kx+k2+1．

∵无论非零实数k取何值，直线与抛物线都只有一个交点，

∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣k）x﹣k2=0有两个相等的实数根，

∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0．

∵无论非零实数k取何值时，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0恒成立，

∴4a+1=0且b=0，

∴a=﹣ ，b=0．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+1．

（ii）证明：根据题意，画出图象如图所示：

设点P的坐标为（x，﹣ x2+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0）．

∴PD=|﹣ x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣ x2+1）= x2+1．

在Rt△OPD中，依据勾股定理得：OP= = = x2+1．

∴OP=PQ