Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．

（1）求证：△ABD∽△AEB；   

（2）当 = 时，求tanE；   

（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）要证明△ABD∽△AEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相等即可;（2）由于AB：BC=4：3，可设AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中结论可得AB2=AD•AE，进而求出AE的值，所以tanE=;（3）设AB=4x，BC=3x，由于已知AF的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道半径3x的值．

（1）证明：∵∠ABC=90°，

∴∠ABD=90°﹣∠DBC，

由题意知：DE是直径，

∴∠DBE=90°，

∴∠E=90°﹣∠BDE，

∵BC=CD，

∴∠DBC=∠BDE，

∴∠ABD=∠E，

∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△AEB；

（2）【解析】
∵AB：BC=4：3，

∴设AB=4，BC=3，

∴AC= =5，

∵BC=CD=3，

∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，

由（1）可知：△ABD∽△AEB，

∴ ，

∴AB2=AD•AE，

∴42=2AE，

∴AE=8，

在Rt△DBE中

tanE= = =

（3）过点F作FM⊥AE于点M，

∵AB：BC=4：3，

∴设AB=4x，BC=3x，

∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x，

∴DE=AE﹣AD=6x，

∵AF平分∠BAC，

∴ ，

∴ ，

∵tanE= ，

∴cosE= ，sinE= ，

∴ ，

∴BE= ，

∴EF= BE= ，

∴sinE= = ，

∴MF= ，

∵tanE= ，

∴ME=2MF= ，

∴AM=AE﹣ME= ，

∵AF2=AM2+MF2 ，

∴4= + ，

∴x= ，

∴⊙C的半径为：3x= ．