Question

如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形： 

（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由； 

（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）． 

Answer

(1) CD=BE．理由见解析；（2）△AMN是等边三角形．理由见解析.

【解析】

（1）CD=BE．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE；（2）△AMN是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的对应角相等、已知条件“M、N分别是BE、CD的中点”、等边△ABC的性质证得△ABM≌△ACN；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形．

（1）CD=BE．理由如下：∵△ABC和△ADE为等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，

∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，

∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS）

∴CD=BE

（2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，

∴∠ABE=∠ACD．

∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=CN

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，

在△ABM和△ACN中，

，

∴△ABM≌△ACN（SAS）．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°

∴△AMN是等边三角形