Question

已知，如图①，在▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN？

（2）设△QMC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S_△QMC：S_{四边形ABQP}=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

t=；y=－；1:4；t=

【解析】

试题当PQ∥MN时，可得：，从而得到：，解方程求出的值；

作于点，则可以得到，根据相似三角形的性质可以求出，，利用三角形的面积公式求出与的关系式；

根据S△QMC:可以得到关于的方程，解方程求出的值；

作于点，于点，则△CPD∽△CBA，利用相似三角形的性质可以得到： ，解方程求出的值.

试题解析：(1)如图所示，

若PQ∥MN，则有，

∵，，，

∴，

即，

解得.

(2)如图所示，

作于点，则△CPD∽△CBA，

∴,

∵，，，

∴，

∴

又∵，

∴△QMC的面积为：

(3)存在时，使得S△QMC:.

理由如下：

∵PM∥BC

∴

∵S△QMC:，

∴S△PQC: S△ABC=1:5，

∵

.∴

∴

∴

∴存在当时，S△QMC:；

(4)存在某一时刻，使.

理由如下：

如图所示，

作于点，于点，则△CPD∽△CBA，

∴,

∵，，，，

∴，

∴，.

∵PQ⊥MQ，

∴△PDQ∽△QEM，

∴，

即

∵，

，

，

∴ ，

即，

∴，（舍去）

∴当时，使PQ⊥MQ.