Question

在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．

（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE=BM；

（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是什么？；

（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE=，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）BD+2DE=BM；（3）．

【解析】

试题（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；

（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；

（3）根据已知求出CM的长，证△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD长，求出FM长即可．

试题解析：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=90°，∴FM∥CD，∴∠NDE=∠MFE，∴FM=BM，∵BM=DN，∴FM=DN，在△EFM和△EDN中，∵∠NDE=∠MFE，∠NED=∠MEF，DN=FM，∴△EFM≌△EDN，∴EF=ED，∴BD﹣2DE=BF，根据勾股定理得：BF=BM，即BD﹣2DE=BM；

（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，与（1）证法类似：BD+2DE=BF=BM，故答案为：BD+2DE=BM；

（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，∵DE=，∴CM=2，∵AB∥CD，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD=AB：ND，∵AF：FD=1：2，∴AB：ND=1：2，∴CD：ND=1：2，CD：（CD+2）=1：2，∴CD=2，∴FD=，∴FD：BM=1：3，∴DG：BG=1：3，∴DG=．