Question

如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．

(1) 求证：CF＝AD；

(2) 若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

Answer

见解析；正方形.

【解析】

试题(1)、根据CF∥AB可得∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，根据E为中点可得CE=DE，则△ECF和△DEA全等，从而得出答案；(2)、根据AD=BD，则CF=BD，CF∥BD得出平行四边形，根据CD为AB边上的中线，CA=CB得出∠BDC=90°得出矩形，根据CD为等腰直角△ABC斜边上的中线得出CD=BD，即得到正方形.

试题解析：(1)、∵CF∥AB，∴∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，∵E为CD的中点，∴CE＝DE，

∴△ECF≌△DEA(AAS)， ∴CF＝AD，

(2)四边形CDBF为正方形，理由为：

∵AD＝BD， ∴CF＝BD； ∵CF＝BD，CF∥BD，∴四边形CDBF为平行四边形，

∵CA＝CB，CD为AB边上的中线，∴CD⊥AB，即∠BDC＝90°，∴四边形CDBF为矩形，

∵等腰直角△ABC中，CD为斜边上的中线，∴CD＝AB，即CD＝BD，则四边形CDBF为正方形．