Question

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于E，交CA的延长线于F．求证：AD²＝DE•DF．

Answer

证明见解析

【解析】

利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质可以推导得出∠DAB＝∠AFD，再结合∠ADE=∠FDA可得△ADE∽△FDA，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠C＝90°，∠EAF=180°-∠BAC=90°，

∴∠AEF+∠AFE=90°，

又∵BC的垂直平分线交BC于点D，

∴∠BDE=90°，

∴∠ABC+∠BED=90°，

∵∠BED=∠AEF，

∴∠ABC=∠AFE，

∵D为BC中点，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠DAE，

∴∠DAE=∠AFE，

又∵∠ADE=∠FDA，

∴△ADE∽△FDA，

∴AD：FD=DE：AD，

∴AD2＝DE•DF．