Question

如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图象上．

（1）求k的值；

（2）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°，得到△BDE，判断点E是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．   

Answer

（1）k＝；点E在该反比例函数的图像上，理由见解析．

【解析】

（1）把A(，1)代入反比例函数y＝，求k；（2）由勾股定理求出AO,再证△AOC∽△ABO，得，求出AB，OB,由sin∠ABO＝＝，求出∠ABO＝30°，由旋转性质求得OB＝BD＝2，OA＝DE＝2，再求得BD－OC＝2－，BC－DE＝1，故E(－，－1)．可判断E的位置.

【解析】
(1)∵点A(，1)在反比例函数y＝

的图像上，∴k＝×1＝.

(2)点E在该反比例函数的图像上．理由如下：

∵A(，1)

∴AO＝＝2.

由AO⊥OB，AB⊥x轴，易证△AOC∽△ABO，

∴，即，

∴AB＝4，

∴OB＝

＝＝2，

∴sin∠ABO＝＝，

∴∠ABO＝30°.由旋转可知△BOA≌△BDE，∠OBD＝60°，

∴OB＝BD＝2，OA＝DE＝2，∠BOA＝∠BDE＝90°，∠ABD＝30°＋60°＝90°.

又BD－OC＝2－＝，BC－DE＝4－1－2＝1，∴E(－，－1)．

∵－×(－1)＝，

∴点E在该反比例函数的图像上．