Question

如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．

(1)当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；   

(2)①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；

②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．

(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．   

Answer

（1）y＝x+2；（2）①S＝6或S＝﹣2t+16；②点P的坐标是（，10）；（3）存在，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．

【解析】

（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；

（2）①当P在AC段时，△ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；

②当D关于OP的对称点落在x轴上时，直线OP为y=x，求出此时P坐标即可；

（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．

【解析】
（1）∵OA＝6，OB＝10，四边形OACB为长方形，

∴C（6，10）．

设此时直线DP解析式为y＝kx+b，

把（0，2），C（6，10）分别代入，得

，

解得

则此时直线DP解析式为y＝x+2；

（2）①当点P在线段AC上时，OD＝2，高为6，S＝6；

当点P在线段BC上时，OD＝2，高为6+10﹣2t＝16﹣2t，S＝×2×（16﹣2t）＝﹣2t+16；

②设P（m，10），则PB＝PB′＝m，如图2，

∵OB′＝OB＝10，OA＝6，

∴AB′＝＝8，

∴B′C＝10﹣8＝2，

∵PC＝6﹣m，

∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝

则此时点P的坐标是（，10）；

（3）存在，理由为：

若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，

①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，

在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，

根据勾股定理得：CP1＝＝2，

∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；

②当BP2＝DP2时，此时P2（6，6）；

③当DB＝DP3＝8时，

在Rt△DEP3中，DE＝6，

根据勾股定理得：P3E＝＝2，

∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），

综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．

点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的定义，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．