Question

小明将两个全等的等腰三角板摆放在一起，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE＝12．

（1）如图1，当D与C点重合时，CF、CE分别与AB交于M、N两点，且量得AM＝3，BN＝4，小明发现AM、MN、BN存在某种数量关系，他想：当AM＝a，BN＝b，MN＝c时，这种数量关系仍成立吗？请你一起探究并证明这个结论；

（2）如图2，当等腰Rt△DEF的顶点D恰好在AB的中点处时，DE、DF分别与AC、BC交于M、N，小明经测量后猜想，AM•BN是一个定值．你认可他的猜想吗？说明理由，若猜想成立，请求出该定值．

（3）在（2）的条件下，△DEF绕点D旋转，DE、DF所在的直线分别交线段AC和线段BC于点M、N，若CN＝2，求MN的长．

Answer

（1）猜想：当AM＝a，BN＝b，MN＝c时，有a2+b2＝c2．，证明详见解析；（2）小明的猜想正确，理由详见解析；（3）MN的长为 ．

【解析】

（1）由小明量得的数据可猜想当AM=a，BN=b，MN=c时，有a2+b2=c2．可过点B作BG⊥AB，并使得BG=AM，连接CG、GN，从而将AM、NB归结到Rt△NBG中，只需证MN=GN，只需证△MCN≌△GCN，只需证∠MCN=∠NCG，CM=CG，只需证△AMC≌△BGC即可．

（2）由∠A=∠EDF=∠B=45°可证△AMD∽△BDN，根据相似三角形的性质可得AM•BN=AD•BD=36，从而解决问题．

（3）由条件可求出CA、CB的长，然后由CN可求出BN，再借用（2）中的结论可求出AM，从而可求出CM，在Rt△MCN中运用勾股定理就可解决问题．

【解析】
（1）∵AM＝3，BN＝4，AB＝12，

∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣3﹣4＝5，

∴AM2+BN2＝MN2．

猜想：当AM＝a，BN＝b，MN＝c时，有a2+b2＝c2．

理由如下：

过点B作BG⊥AB，并使得BG＝AM，连接CG、GN，如图1，

则有∠ABG＝90°．

∵∠ABC＝45°，

∴∠GBC＝45°．

在△AMC和△BGC中，

，

∴△AMC≌△BGC（SAS），

∴CM＝CG，∠ACM＝∠BCG，

∴∠MCG＝∠ACB＝90°．

∵∠MCN＝45°，

∴∠NCG＝∠MCG﹣∠MCN＝45°，

∴∠MCN＝∠NCG．

在△MCN和△GCN中，

，

∴△MCN≌△GCN（SAS），

∴MN＝GN．

在Rt△NBG中，

∵∠NBG＝90°，

∴BN2+BG2＝GN2，

∴BN2+AM2＝MN2．

（2）小明的猜想正确．

理由如下：

如图2，

由题可得∠A＝∠MDN＝∠B＝45°，

∵∠MDB＝∠A+∠AMD＝∠MDN+∠NDB，

∴∠AMD＝∠NDB，

∴△AMD∽△BDN，

∴＝，

∴AM•BN＝AD•BD．

∵D为AB的中点，AB＝12，

∴AD＝BD＝6，

∴AM•BN＝36．

∴AM•BN是一个定值，该定值为36．

（3）连接MN，如图3，

在Rt△ACB中，

∵∠C＝90°，AC＝BC，AB＝12，

∴AC＝BC＝6．

∵CN＝2，∴BN＝4．

∵AM•BN＝36．

∴AM＝，

∴CM＝CA﹣AM＝6﹣＝．

在Rt△MCN中，

∵∠C＝90°，

∴MN2＝CM2+CN2＝（）2+（2）2

＝. +8＝，

∴MN＝．

∴MN的长为．