Question

如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，BD平分∠ABC，CD＝4．

（1）求BC的长；

（2）如图2，若∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．请判断△DEF的形状并证明你的结论．

Answer

（1）BC＝4；（2）△DEF是等边三角形，证明详见解析.

【解析】

（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB=∠CBD进而得出AD=DC，

（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．

【解析】
（1）∵DC∥AB，

∴∠CDB＝∠ABD．

∵∠ABD＝∠CBD，

∴∠CDB＝∠CBD．

∴BC＝CD＝4．

（2）△DEF是等边三角形．

∵BC＝CD，CF⊥BD．

∴BF＝DF．

又∵DE⊥AB，

∴EF＝BD＝DF．

∵∠BDE＝90°－∠EBD＝90°－×60°＝60°．

∴△DEF是等边三角形．