Question

如图，等边△ABC 内接于⊙O，P 是上任一点（点 P 不与点 A、B 重合），连 AP、BP，过点 C 作 CM∥BP 交 PA 的延长线于点 M．

(1)填空：∠APC＝     度，∠BPC＝     度；

(2)求证：△ACM≌△BCP；

(3)若 PA＝1，PB＝2，求梯形 PBCM 的面积．

Answer

(1)60,60;(2)见解析;(3).

【解析】

（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；

（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；

（3）利用上题证得的两三角形全等判定△PCM 为等边三角形，进而求得 PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．

（1）【解析】
∠APC＝60°，∠BPC＝60°；

(2)证明：∵CM∥BP，

∴∠BPM+∠M＝180°，

∠PCM＝∠BPC，

∵∠BPC＝∠BAC＝60°，

∴∠PCM＝∠BPC＝60°，

∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，

∴∠M＝∠BPC＝60°，

又∵A、P、B、C 四点共圆，

∴∠PAC+∠PBC＝180°，

∵∠MAC+∠PAC＝180°

∴∠MAC＝∠PBC，

∵AC＝BC，

∴△ACM≌△BCP；

(3)【解析】
作 PH⊥CM 于 H，

∵△ACM≌△BCP，

∴CM＝CP， AM＝BP，∠M＝60°，

∴△PCM 为等边三角形，

∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+PB＝1+2＝3，

在 Rt△PMH 中，∠MPH＝30°，

∴PH＝ ，

∴S 梯形 PBCM＝（PB+CM）×PH＝ ＝．